猛暑の束の間やませに吹かれ吉田川サイフォンライド
やませ
東北では米の凶作、冷害の原因としてやませを上げることがあります。
やませ（山背）とは、春から秋に、オホーツク海気団より吹く冷たく湿った北東風または東風（こち）のこと
本日の気圧配置はオホーツク海上に高気圧があり、南海上には台風がありました。この高気圧からの風がやませとなり、仙台では連日の猛暑から一転して涼しい日になったようです。
さすがに連日のようなセ氏36度とか38度のような猛暑日では走りに行く気は全く湧きませんが、今日のように涼しいならば話は別。学校の友人と一緒に、100 kmを超えるライドへ行ってまいりました。
ルート概要
名取市の名取市立第二中学校を起点とし、県道10号線で北上します。仙台港に到着した後、県道23号に乗り、塩釜へ。その後は国道45号に乗って松島をパスし、東松島市で昼食をとります。昼食後は鳴瀬川を遡上し、吉田川サイフォン、明治潜穴を見たあとに、利府街道と国道4号経由で帰るルートです。
吉田川サイフォン・明治潜穴とは？
明治潜穴
今は大崎市となっていますが、かつて宮城県には鹿島台町という町があり、その前は鹿島台村という村でした。
鹿島台には、品井沼という度々氾濫を起こしていた湿地帯がありました。近隣住民は品井沼の氾濫には長い間悩まされていたため、江戸時代から昭和にかけて開拓事業が実施されました（品井沼干拓事業）。この干拓事業によって品井沼に流れ込む河川の流路や、流れだす河川の流路が変えられました。そのときに作られたのが吉田川サイフォンや明治潜穴です。
かつてあった品井沼の水を抜くために、元禄潜穴や明治潜穴といった河川のトンネルが作られました。鳴瀬川からの逆流を防ぐために、鳴瀬川と品井沼は完全に分離され、吉田川は河川経路を延長され、鳴瀬川と並行しながら石巻湾直前で合流します。また、品井沼に流れ込んでいたいくつかの河川は鶴田川にまとめられ、吉田川の下を流れています（吉田川サイフォン）。吉田川サイフォンを経た鶴田川は高城川と名前を変え、途中の山を明治潜穴で超えた後、松島湾に注ぐのです。
これだけの事業を320年以上に亘って行った底力。すごいと思います。
小学校のころはよく鹿島台町の体育館に行きました。体育館には鎌田三之助記念館という記念館が付属しています。鎌田三之助は、品井沼干拓事業に大きく貢献した鹿島台村村長でした。
河川・治水の歴史はとても興味深いです。高城川・吉田川のような趣深い歴史を誇る河川は宮城県にはあまり見られないため、他県でドンドン開拓したいですね。
東京はこういう治水事業ほんとに多いと思います。特に暗渠化の歴史とか興味深いです。江戸東京博物館あたりで見られないのかしら。
参考
ギヤレシオの考察
先日、購入予定日を大幅に前倒しして16-27Tのスプロケットを購入してしまったという話をしました。
巡航速度と脚の強さによってギヤ比ないしスプロケットは選別されます。
ギヤ比を\(R_{gear}\)、\(Z_C\)をクランク歯数、\(Z_{SP}\)をスプロケット歯数とします。このとき、ギヤ比は\[R_{gear}=\frac{Z_C}{Z_{SP}}\]で求まります。
14-25T、16-26Tにおいて\(Z_C=53, 39\)としたときのギヤ比の遷移を図1に示します。
図1 \(Z_{C}=39, 52\)のときの14-25T（濃いやつ）と16-27T（薄いやつ）の挙動
これは今回購入したCS6700の16-27Tに対する14-25Tの比較となります。クランク側が39T（インナー）のときでも、52T（アウター）のときでも変速時にかなりかぶっていることが多いので、ギヤ比の選択肢は豊富にあります。
しかしながらインナーからアウターへフロント変速するときにギヤ比を保持したい場合、リヤディレイラーの変速回数は多くなってしまいます。
また、CS5700において12-25T、12-27Tで\(Z_C=53, 39\)としたときのギヤ比の遷移を図2に示します。
図2 \(Z_{C}=39, 52\)のときの12-25T（濃いやつ）と12-27T（薄いやつ）の挙動
図1と比較して、図2では多くの点が重なっています。附表をご覧いただければわかると思いますが、複数のスプロケット構成間においてCS5700ではスプロケットにおけるギア比の選択肢が少なくなっています。
一見すると、CS6600とCS5700の差と言うのは、ギヤ比の選択肢が少なくなっているかのように思われがちかもしれません。しかし、CS5700のギヤ比の分布に注目してください。CS6600ではインナ-アウタのギヤ比の差は1.25程度でした。しかし、CS5700のギヤ比の差は1.75から2.5程度あります。
すなわち、CS5700とCS6600を比較したときの大きな差は、トップとロー側でギヤ比が大きく異なっている、すなわちワイドレシオとなっているということです。
なお、ケイデンス\(\omega\) [r.p.m]、タイヤ直径\(d\) [mm]としたときの自転車の速度\(v\) [km/h]は\[v=\omega\times 60 \times \frac{Z_C}{Z_{SP}}\times \pi d \times 10^{-6}\]となります。
ギヤ比がこれだけ差があれば、同じケイデンスで2倍の速度差が生まれるということです。しかし、ワイドレシオの場合はギヤ比の分布が大きいため、多少速度が上下しやすいという欠点もあります。
どちらかと言えば、ワイドレシオは山も平地もできるオールラウンダー向きだけれど器用貧乏になりがち、クロスレシオは平地か山に限る*1けれど適切なギヤ比の幅を選択すれば最高のパフォーマンス。といえるわけですね。
かつてはプロがうんとこしょどっこいしょと踏んでいた（プロだから踏めていた）男ギア。メーカは、アマチュアでもロードに乗れるように軽いギヤ比を設定するために、コンパクトクランクやジュニアスプロケットを作ったわけです。
1段1段をすべて同じギヤ比の差で済ませれば、1つのスプロケットでより大きなギヤ比の構成になります。トップとローで同じギヤ比であれば、段数が多くなればなるほどよりクロスレシオになります。
近年のリアディレイラーの多段化はチェーンの寿命を削っているだけの無駄な動きではなかったのだということがわかりますね。
参考
CS6600
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 13-25T | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 21 | 23 | 25 |
| 14-25T | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 23 | 25 |
| 15-25T | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 25 |
| 16-27T | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 25 | 27 |
CS5700
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 11-25T | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 17 | 19 | 21 | 23 | 25 |
| 11-28T | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 17 | 19 | 21 | 24 | 28 |
| 12-25T | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 19 | 21 | 23 | 25 |
| 12-27T | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 19 | 21 | 24 | 27 |
MathJaxを使えるようにしました。
ここ参照しました。
うーん、綺麗ですね
\[ \frac{\pi}{2} = \left( \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{\sqrt{x}} dx \right)^2 = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2} \frac{1}{2k+1} = \prod_{k=1}^{\infty} \frac{4k^2}{4k^2 - 1}\]
遅乙女
ロードバイクで使用するスプロケットには、今日では8--11枚のコグがついています。
たとえば、SHIMANO社のフラッグシップモデルであるDURA ACEには、以下の構成のスプロケットが用意されています。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 11-23T | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 21 | 23 |
| 11-25T | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 19 | 21 | 23 | 25 |
| 11-28T | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 17 | 19 | 21 | 23 | 25 | 28 |
| 12-25T | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 21 | 23 | 25 |
| 12-28T | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 19 | 21 | 23 | 25 | 28 |
Tと言うのは歯数を表しています。ケイデンス一定、チェーンリングの歯数が一定の制約条件の下では、スプロケットの歯数が大きければ大きいほど、速度は遅くなり、タイヤに働くモーメント（トルク）は大きくなります。
また、ギヤ比の差がトップとローで開けば開くほどワイドレシオのスプロケット、その逆もまた真なりです。
完成車に付いているスプロケットはワイドレシオが多いのですが、まれにクロスレシオかつ全体の歯数が大きいスプロケットもついています。もちろんメーカからも発売されていて、例えばディスコンになったULTEGRAグレードのCS-6600では
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 13-25T | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 21 | 23 | 25 |
| 14-25T | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 23 | 25 |
| 15-25T | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 25 |
| 16-27T | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 25 | 27 |
という構成になっています。このようなクロスレシオかつ歯数が全体的に大きいスプロケットを
乙女ギア
といいます。
僕はこれまで14-25Tを使ってましたが、斜度が10%を超える坂を登るのはきついため、新たに16-27Tの導入を検討していました。
購入予定は、再来月でした。しかし、昨日友人と試験終了の打ち上げに行く途中で見つけてしまったのです。通常7000円台で発売されている
乙女ギア
がなんと5000円台で販売されている様子を。
僕は迷いました。フェムト秒レーザの発光時間並に迷ったのです。
しばらく経って、店の外にでてきたとき、気が付くと、僕の手には
乙女ギア
が握られていました。どうしてこうなった！
今日取り付けたので、チェーンの張りを確かめながら、明日の朝写真を撮りに行ってきます。
本当にどうしてこうなったんだ……
年刊三本ローラを作る04号：片持ちはりに働く等分布荷重
本号では、等分布荷重が働いている片持ちばりのせん断力・モーメントについて解説します。
片持ちはりに働く等分布荷重
図1に等分布荷重がさようしている片持ばりを示します。
図1 等分布荷重が作用している片持ばり
はりの長さは\(L\)で、全体に\(w\)[N/m] の力が作用しています*1。
さて、前号でははりの開放端に集中荷重が作用していたため、計算がとても楽でした。しかし、今回考える等分布荷重は、分布しているため「長さ」という概念が生じます。等分布荷重で重要なのは、この「長さ」の概念です。
では、積分をつかって考えていきましょう。
前回と同様に、開放端からある距離\(x\)で切り取った図を図2に示します。
図2 等分布荷重が作用している片持ばりの計算方法
せん断力\(S\)に関して考えてみましょう。この切り取った断面\(A\)では、\(A\)から左側の分布荷重\(w\)によってせん断力を受けています。微小区間\(d\xi\)では\(wd\xi\)が加わっているとすると、
\[S=-\int_0^x wd\xi=-wx\]
となります。考えてみれば、等分布荷重では荷重が一定なので、せん断力は距離に従って線形的に増加しているというのは当たり前だと思います。\(x\)にはりの長さ\(L\)を代入すると、固定端でのせん断力\(-wL\)が求まります。
では、同様にモーメント>\(M\)を考えます微小区間\(d\xi\)において\(wd\xi\)が作用していますので、断面\(A\)から\(d\xi\)までの距離\(x-\xi\)の積が微小区間\(d\xi\)のモーメントとなります。すなわち、
\[M=-\int_0^x w(x-\xi)d\xi=-\frac{wx^2}{2}\]
となります。\(x\)にはりの長さ\(L\)を代入すると、固定端でのモーメント\(-wL^2\)が求まります。
図3 等分布荷重が作用している片持ばりのSFD, BMD
*1:はりの計算では奥行きを（今のところ）考慮していないので、単位は [N/m] となります。
年刊三本ローラを作る03号：片持ちはりに働く集中荷重
本号から次号にかけて、片持ちはりに働く力について説明したいと思います。
片持ちはりに働く集中荷重
片持はりとは、前号で示したとおり図1の様に片方が固定端支持、もう片方が開放端になっているはりのことです。
図1 片持ばり
片持ばりでは、この固定端支持から開放端までのどこかに集中荷重か分布荷重、あるいはその両方が働いています。
ではここで、図2のような開放端に集中荷重がはたらいている片持ばりについて考えます。
図2 片持ばりの計算例
ここで、計算をしやすくするために、開放端からある程度の距離\(x\)までを切り取って考えます（図3）。
図3 片持ばりの計算方法
はりが平衡状態にある*1ときは、
- はりに作用している力の総和はゼロ
- はりのすべての点におけるモーメントの総和はゼロ
の2つの条件が満たされています。
固定端には荷重\(W\)が作用しているので、この2条件を満たすには、荷重\(W\)に対して内部に釣り合う力と釣り合うモーメントが作用していなければなりません。
荷重\(W\)に釣り合う内部のせん断力を定義し、これを\(S\)とおきます。
同様に荷重\(W\)によって発生するモーメントに釣り合う内部のモーメントを定義し、これを\(M\)とおきます。
また、切り取る断面と、見る方向によってせん断力\(S\)の正負が入れ替わる性質があります。面倒なので、本ブログでは図3のように、
切り取る断面を右から見るときに下向きのせん断力を正、反時計回りのモーメントを正
とします。
釣り合いの条件より、
\[S=-W\]
\[M=-Wx\]
となります。
荷重\(W\)によって発生するせん断力\(S\)は開放端から固定端まで一定ですが、モーメント\(M\)は固定端に行くにしたがって線形的に大きくなります。
言葉で言ってもわかりにくいので、図示します。
図4 荷重とモーメントの図示
せん断力を表したグラフをSFD (Shearing Force Diagram)、曲げモーメントを表したグラフをBMD (Bending Moment Diagram)といいます。
やはり図示すると一目瞭然ですね。
*1:外力が加わっている状態でも移動や回転をしない
年刊三本ローラを作る02号：強度設計の基礎の基礎
強度設計は機械のどの分野？
機械工学では熱力学・流体力学・機械力学・材料力学の4つの力学は四力と呼ばれ、機械工学の基礎力学として重要性が非常に高い分野であると言われています。ざっくり分野説明すると
- 熱力学（熱力）：圧縮や膨張に関わる仕事量やエントロピーの変化を解析する
- 流体力学（流力）：物体の周りの流れや圧縮時の挙動、流体自体や流体がさせる仕事を解析する
- 機械力学（機力）：物体の振動
- 材料力学（材力）：どのくらいどうしたら壊れるか
こんなかんじです。加熱・発熱・排熱をしない、ポンプを使わない、振動を気にしなくていい設計の場合、使うのはほとんど材力のみです*1。
スクラップアンドスクラップ
今日では一部の材料で結晶構造の解析による予想強度と実際の強度が一致するようになりました。しかし、まだまだ多くの材料では破壊強度などは実際に壊して確認するしか方法がないというのが現状です。
つまり、全部なんでも、ぶっ壊すのです。スクラップアンドスクラップ。それが機械の道なのです。
業が深い。
さておき、材料力学の分野では材料に加わる力を解析します。この加わる力と材料が壊れる力が一致したとき、その部材（部品）は壊れます。
材料力学では、必ず応力σ（シグマ）を扱います。応力は圧力と同じ次元（～単位）をもつ量です。力をP、力を受ける断面積をAとしたときに
で表されます（図1）。単位は[Pa]ですね
図1 応力の働き方
はりのあるお話
材料力学では、ほとんどの構造部材の計算を図1のような棒材（断面形状は任意）と「はり」の組み合わせとして考えます。「はり」というと一般に家屋の構造を保つために使われてる部材のことを指しますが、材料力学では
断面に比べて軸線方向の寸法の大きい部材が適当な方法で支持され、軸線に垂直な荷重や偶力を受ける時、この部材をはりという。言い換えれば曲げを受ける細長い部材がはりである。
と定義しています。はりの支持方法には三種類あります。図2--4に模式図を載せました。
図2 移動支点
図3 回転支点
この内、移動支点と回転支点は、単純支持と呼ばれます。
各支持方法によって、色々考慮しなければならない力と無視して良い力が発生します。
まず、各支持方法において作用する外力（負荷による力）をWとします。
単純支持移動支点の場合は、Wによって床からの垂直反力Rが生じます。単純支持回転支点の場合は、床からの反力に加えて、軸方向への移動ができないため軸方向（アキシャル方向）に水平反力Nが生じます。
固定支持の場合、端部を完全に固定しているため、支点部分では移動も回転もできません。そのために支点には反モーメントとしてMが作用します。
なお、外力Wが軸方向に作用していない場合は水平反力Nを無視して取り扱って構いません。実際の設計でも、はりが使われる部材ではできるだけ横方向の荷重のみになるように設計するため、軸方向の荷重は考えなくてもよく、移動支点と回転支点は特に区別しないことが多いです。
はりの計算においては、この3つの支持の組み合わせ*2によってはりの種類が区別されます。
はりの種類は
- 片持ばり
はりの片方が固定支持もう片方が自由端（支持がなく開放状態）になっているはり。固定端では変位、角度がゼロ（曲がらない）となる。回転がないため反モーメントを考える - 単純支持はり
片方が回転支点・もう片方が移動支点となっていて、支持部においては変位はゼロであるが角度を考える - 両端固定ばり
両端が固定されているため、両端で変位ゼロ、角度もゼロとなる - 連続はり
支点が2つを超えるはり
の4つに分けられます。
はりの支点と支点の間の距離をスパンといいます。スパンには極めて狭い範囲に集中的に作用する集中荷重と、一定の範囲に分布する分布荷重が作用します。橋もスパンがありますね。明石海峡大橋はスパンの長さが世界一、すなわち、世界で一番長い橋です。
さて今号では、応力とはりの種類についておさらいしました。機械系専攻の学生ならば基礎的なことですが、半年くらいかけてやることを色々とすっ飛ばしてここまできました。
次号もお楽しみに。
そんなことより
誰得なんだ？この企画？
（出典）
中島正貴, 材料力学 機械系教科書シリーズ, 2010, コロナ社, pp65--67
